已知函数f(x)=|log2(x+1)|,实数m、n在其定义域内,且m<n,f(m)=f(n).求证:(1)m+n>0;(2)f(m2)<f(m+n)<f(n2
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=|log2(x+1)|,实数m、n在其定义域内,且m<n,f(m)=f(n).求证: (1)m+n>0; (2)f(m2)<f(m+n)<f(n2). |
答案
(1)证明:由f(m)=f(n),得|log2(m+1)|=|log2(n+1)|,即log2(m+1)=±log2(n+1), log2(m+1)=log2(n+1),① 或log2(m+1)=log2.② 由①得m+1=n+1,与m<n矛盾,舍去. 由②得m+1=,即(m+1)(n+1)=1.③ ∴m+1<1<n+1.∴m<0<n.∴mn<0. 由③得mn+m+n=0,m+n=-mn>0.
(2)证明:当x>0时,f(x)=|log2(x+1)|=log2(x+1)在(0,+∞)上为增函数. 由(1)知m2-(m+n)=m2+mn=m(m+n),且m<0,m+n>0,∴m(m+n)<0. ∴m2-(m+n)<0,0<m2<m+n. ∴f(m2)<f(m+n). 同理,(m+n)-n2=-mn-n2=-n(m+n)<0, ∴0<m+n<n2.∴f(m+n)<f(n2). ∴f(m2)<f(m+n)<f(n2). |
举一反三
已知f(x)=ax,g(x)=-logbx,且lga+lgb=0,a≠1,b≠1,则y=f(x)与y=g(x)的图象( )A.关于直线x+y=0对称 | B.关于直线x-y=0对称 | C.关于y轴对称 | D.关于原点对称 |
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某纯净水制造厂在净化水过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为( ) |
某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为______(lg2=0.3010,lg11.49=1.0602) |
设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an,5bn,5an+1成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an、bn. |
设0<x<1,a>0且a≠,试比较|log3a(1-x)3|与|log3a(1+x)3|的大小. |
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