在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为,设顶点A的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(
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在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为,设顶点A的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为
,设顶点A的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设曲线E与y轴负半轴的交点为D,过点D作两条互相垂直的直线l
1
,l
2
,这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M,N.设l
1
的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,试求
的取值范围.
答案
(1)
;(2)
解析
试题分析:(1)由于所求动点A满足直线AB,AC的斜率乘积为
,所以直接设A的坐标,代入化简整理即得:
,注意到△ABC中三个顶点不能共线,所以需去掉与
轴相交的点,(2)要求
的取值范围,首先求出
函数解析式,由题意确定l
1
的斜率为k为自变量,因为M 为l
1
与曲线E的交点,所以列方程组解出点M坐标
,从而得出弦长
;同理,只需将
代k就可得到
,因此△DMN的面积S=
,所以
=
,这可以看作关于1+k
2
的一个分式函数,即
,可以利用函数单调性求出其取值范围.
试题解析:解(1)设顶点A的坐标为(x,y),则k
AB
=
,k
AC
=
2分
因为k
AB
×k
AC
=
,所以
, 即
.(或x
2
+4y
2
=4).
所以曲线E的方程为
. 4分
(2)曲线E与y轴负半轴的交点为D(0,-1).
因为l
1
的斜率存在,所以设l
1
的方程为y=kx-1, 代入
,得
从而
6分
用
代k得
所以△DMN的面积S=
8分
则
=
因为k≠0且
,k≠±2,令1+k
2
=t,
则t>1,且
,t≠5,
从而
=
因为
,且
,
所以
且
,
从而
且
,
,
即
∈
10分.
举一反三
椭圆
的右准线方程是
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
的离心率为
,短轴长是2.
(1)求a,b的值;
(2)设椭圆C的下顶点为D,过点D作两条互相垂直的直线l
1
,l
2
,这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M,N.设l
1
的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,当
时,求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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P为圆A:
上的动点,点
.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)当点P在第一象限,且
时,求点M的坐标.
题型:不详
难度:
|
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离心率为
的椭圆
与双曲线
有相同的焦点,且椭圆长轴的端点,短轴的端点,焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列,则双曲线
的离心率等于( )
A
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,两条相交线段
、
的四个端点都在椭圆
上,其中,直线
的方程为
,直线
的方程为
.
(1)若
,
,求
的值;
(2)探究:是否存在常数
,当
变化时,恒有
?
题型:不详
难度:
|
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