已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为

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已知椭圆C:

=1(a>b>0)的离心率为

.双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(　　)

A．+=1	B．+=1
C．+=1	D．+=1

答案

解析

利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.
∵椭圆的离心率为

,
∴

,
∴a=2b.
∴椭圆方程为x²+4y²=4b².
∵双曲线x²-y²=1的渐近线方程为x±y=0,
∴渐近线x±y=0与椭圆x²+4y²=4b²在第一象限的交点为

,
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为

b×

b=4,
∴b²=5,
∴a²=4b²=20.
∴椭圆C的方程为

=1.
故选D.

举一反三

如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A．3

B．2

C．

D．

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已知椭圆C₁:

=1(a>b>0)与双曲线C₂:x²-

=1有公共的焦点,C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C₁恰好将线段AB三等分,则(　　)

A．a²=	B．a²=13
C．b²=	D．b²=2

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已知双曲线

=1(a>0,b>0)和椭圆

=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为　　　　.

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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C₁:

=1(a>b>0)的左焦点为F₁(-1,0),且点P(0,1)在C₁上.
(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂:y²=4x相切,求直线l的方程.

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设椭圆C₁:

=1(a>b>0),抛物线C₂:x²+by=b².

(1)若C₂经过C₁的两个焦点,求C₁的离心率;
(2)设A(0,b),Q（3

b）,又M,N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,

b）,且△QMN的重心在C₂上,求椭圆C₁和抛物线C₂的方程.

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