已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段A

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已知椭圆C₁:

=1(a>b>0)与双曲线C₂:x²-

=1有公共的焦点,C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C₁恰好将线段AB三等分,则(　　)

A．a²=	B．a²=13
C．b²=	D．b²=2

答案

解析

双曲线渐近线方程为y=±2x,
圆的方程为x²+y²=a²,
则|AB|=2a,不妨设y=2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方,
则由已知|PQ|=

|AB|=

,
∴|OP|=

,
∴P

.
又∵点P在椭圆上,
∴

=1.①
又a²-b²=5,b²=a²-5,②
联立①②解得

故选C.

举一反三

已知双曲线

=1(a>0,b>0)和椭圆

=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为　　　　.

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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C₁:

=1(a>b>0)的左焦点为F₁(-1,0),且点P(0,1)在C₁上.
(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂:y²=4x相切,求直线l的方程.

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设椭圆C₁:

=1(a>b>0),抛物线C₂:x²+by=b².

(1)若C₂经过C₁的两个焦点,求C₁的离心率;
(2)设A(0,b),Q（3

b）,又M,N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,

b）,且△QMN的重心在C₂上,求椭圆C₁和抛物线C₂的方程.

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如图,已知抛物线C₁:x²+by=b²经过椭圆C₂:

=1(a>b>0)的两个焦点.

(1)求椭圆C₂的离心率;
(2)设点Q(3,b),又M,N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C₁上,求C₁和C₂的方程.

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已知椭圆C₁:

=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1.

(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设点P在抛物线C₂:y=x²+h(h∈R)上,C₂在点P处的切线与C₁交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.

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