已知椭圆短轴的一个端点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于、两点，若．求

题型：不详难度：来源：

已知椭圆短轴的一个端点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于、两点，若．求

答案

（1）椭圆的标准方程；（2）.

解析

试题分析：（1）由已知得，又联立可解得，从而可求椭圆的标准方程；
（2）先设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，把直线方程和椭圆方程联立得到一个关于的二次方程，再利用弦长公式即可求出.
试题解析：（1）由题意可设椭圆C的标准方程为(>>0)．
由已知b＝1，所以，因为＝，∴a²＝9，b²＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y²＝1.                 6分
（2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由，
得               8分
∴x₁＋x₂＝ ，x₁x₂＝，
∴|AB|＝＝＝.
∴，解得.                12分