试题分析:该题考察曲线方程的求法、直线和椭圆的位置关系、函数的最大值,考察数形结合、综合分析问题和解决问题的能力.(Ⅰ)由已知曲线是以为焦点的椭圆,且,故曲线的方程为;(Ⅱ)设过点的直线方程为: ,将它与椭圆:联立,可得,设,,然后根据韦达定理代入,可得关于的函数,再求其最大值即可.
试题解析:(Ⅰ)由椭圆定义可知,点的轨迹C是以,为焦点,长半轴长为2的椭圆. 故曲线的方程为. 4分 (Ⅱ)存在△面积的最大值. 因为直线过点,可设直线的方程为 或(舍). 则 整理得 . 7分 由. 设. 解得 , . 则 . 因为. 10分 设,,. 则在区间上为增函数. 所以. 所以,当且仅当时取等号,即. 所以的最大值为. 12分 |