试题分析:(1)求出已知椭圆离心率,结合焦距2c=4,可得a,b;(2)联立方程组,依据点在圆内部列出关系式求解. 试题解析:(1)∵椭圆C的焦距为4,∴c=2. 又∵椭圆x2+=1的离心率为,∴椭圆C的离心率e===,∴a=2,b=2. ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y,得(1+2k2)x2+4kx-6=0,∴x1+x2=,x1x2=. 由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0), ∵右焦点F在圆的内部,∴·<0.∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0, 即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0.∴(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5 =(1+k2)·+(k-2)·+5=<0,∴k<. 经检验,当k<时,直线l与椭圆C相交.∴直线l的斜率k的取值范围为(-∞,). |