如图,A,B是椭圆的两个顶点, ,直线AB的斜率为.求椭圆的方程;(2)设直线平行于AB,与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,证明:的面积等于的面积

如图,A,B是椭圆的两个顶点, ,直线AB的斜率为.求椭圆的方程;(2)设直线平行于AB,与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,证明:的面积等于的面积

题型:不详难度:来源:
如图,A,B是椭圆的两个顶点, ,直线AB的斜率为.求椭圆的方程;(2)设直线平行于AB,与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,
证明:的面积等于的面积.

答案
(1);(2)证明略.
解析

试题分析:(1)根据条件表示A、B两点,得到,联立即可求出a,b;(2)先设出直线的方程,与椭圆联立,消y,得到关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系得到,而,由直线,求,得,所以.
试题解析:(1)解:依题意,
整理得                          2分
解得 .                            3分
所以 椭圆的方程为.                       4分
(2)证明:由于//,设直线的方程为,将其代入,消去
整理得.    6分

所以     8分
证法一:记△的面积是,△的面积是

      10分
因为 ,所以 , 13分
从而.                      14分
证法二:记△的面积是,△的面积是
线段的中点重合.       10分
因为 ,所以
故线段的中点为.                           
因为 ,所以 线段的中点坐标亦为.  13分
从而.                    14分
举一反三
已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆的方程;
(II)直线与椭圆交于两点,且线段的垂直平分线经过点,求为原点)面积的最大值.
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已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线y =kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.
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已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.
(I)求椭圆的方程;
(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.
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已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_____;渐近线方程为_________.
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已知椭圆的离心率为为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,若为坐标原点),求证:直线与圆相切.
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