已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.

答案

（1）；（2）.

解析

试题分析：（1）根据抛物线的焦点是椭圆的短轴长，可以求出，再根据离心率及，从而能够求出；（2）设出点坐标，从而写出的方程，根据椭圆的对称性能够表示出的面积，联立直线与椭圆，求出代入到的面积，进一步表示出面积，根据均值不等式能够求出面积的最大值.
试题解析：（1）抛物线的焦点为，∴
又椭圆离心率，∴，
所以椭圆的方程为
（2）设点，则，连交轴于点，
由对称性知：
由    得：
，
（当且仅当即时取等号）

面积的最大值为.