试题分析:(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1,由此能求出椭圆C的方程.(2)设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M(,k).由题设条件可以求出N(,-),所以|MN|得到表示,再由均值不等式进行求解 (3)在第二问的基础上确定了直线BS的斜率得到直线方程,利用点到直线的距离得到l‘,然后得到分析方程组的解的个数即为满足题意的点的个数。 解:(I);故椭圆的方程为 (Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而 由得0 设则得, 从而即又 由得 故 又 当且仅当,即时等号成立。 时,线段的长度取最小值 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时, 此时的方程为 要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线 则由解得或 当时, 得,,故有2个不同的交点; 当时,得,,故没有交点; 综上:当线段MN的长度最小时,在椭圆上存在2个不同的点,使得的面积为 点评:解决该试题的关键是能利用椭圆的几何性质表述出|MN|,同时结合均值不等式求解最小值。 |