本题主要考查抛物线的基本性质以及直线与圆锥曲线的综合问题.在解决直线与圆锥曲线综合问题时,常把直线方程与圆锥曲线方程联立. (1)先讨论出当直线l垂直于x轴时,的值;再设出直线方程,把直线与抛物线方程联立,得到A,B两点的坐标和斜率之间的关系,再代入 计算即可得到结论 (2)先写出类似结论,再根据第一问求 的方法即可得到结论.(注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论). 解: (I) 若直线l垂直于x轴, 则, . ……………2分 若直线l不垂直于x轴, 设其方程为, . 由 ……………4分
. 综上, 为定值. ……………6分 (II) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值. ……………7分 证明: 不妨设直线l过椭圆的右焦点其中 若直线l不垂直于x轴, 则设其方程为: , . 由得: ……………9分 由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为 所以
要使为定值, 只要 即 此时……………12分 若直线l垂直于x轴, 则其方程为, , . 取点, 有……………13分 综上, 过焦点的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点
使为定值. ……………14分 |