(本题满分14分)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C上的动点P引圆O:x2+y2=b2的

(本题满分14分)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C上的动点P引圆O:x2+y2=b2的

题型:不详难度:来源:
(本题满分14分)
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C上的动点P引圆O:x2+y2=b2的两条切线PA、PB,A、B分别为切点,试探究椭圆C上是否存在点P,由点P向圆O所引的两条切线互相垂直?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1).  (2)椭圆C上存在四个点,分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.  
解析
本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题.解决第二问的关键在于根据条件分析出AOBP为正方形,|AO|=|AP|,得到关于点P坐标的等式.
(1)直接根据条件列出 a2=b2+c2a=3,e=,解方程求出b,c即可得到椭圆C的方程;
(2)先根据条件分析出AOBP为正方形,|AO|=|AP|,得到关于点P坐标的等式;再结合点P在椭圆上即可求出点P的坐标.
解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意, ∴b=2,   ---------2分
∴所求椭圆方程为.      ---------------4分

(2)如图,设P点坐标为(x0,y0),                -------5分
若∠APB=90°,则有|OA|=|AP|.               ---------6分
即|OA|=,
有2=,
两边平方得x02+y02=8                      ①
又因为P(x0,y0)在椭圆上,所以4x02+9y02=36 ②
①,②联立解得            ---------9分
所以满足条件的有以下四组解
     -----------12分
所以,椭圆C上存在四个点,分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.         --------14分
举一反三
焦距为,离心率,焦点在轴上的椭圆标准方程是       (   )
               
            
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已知椭圆的两个焦点为,且,弦AB过点,则△的周长为                                       (   )
A.10B.20 C.2D.

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已知双曲线的左右焦点分别为,P为C的右支上一点,且=,△的面积等于(   )
A.24B.36C.48D.96

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(本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形。
(1)求椭圆方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点;证明:为定值;
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(本题满分15分 )已知椭圆经过点,一个焦点是
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆轴的两个交点为,点在直线上,直线分别与椭圆交于两点.试问:当点在直线上运动时,直线是否恒经过定点?证明你的结论.
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