(I)根据椭圆定义可知a=2,,所以b=1,再注意焦点在y轴上,曲线C的方程为. (II) 直线与椭圆方程联立,消y得关于x的一元二次方程,再根据坐标化为,借助直线方程和韦达定理建立关于k的方程,求出k值. (III)要证:||>||,,再根据A在第一象限,故,,从而证出结论. 解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴, 故曲线C的方程为. 3分 (Ⅱ)设,其坐标满足
消去y并整理得, 故. 5分 若,即.而, 于是, 化简得,所以. 8分 (Ⅲ)
. 因为A在第一象限,故.由知,从而.又, 故, 即在题设条件下,恒有. 12分 |