(本小题满分13分)已知椭圆 .与有相同的离心率,过点的直线与,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线过的上顶点时, 直线的倾斜角为.(1)求椭圆的方程;

(本小题满分13分)已知椭圆 .与有相同的离心率,过点的直线与,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线过的上顶点时, 直线的倾斜角为.(1)求椭圆的方程;

题型:不详难度:来源:
(本小题满分13分)
已知椭圆 .有相同的离心率,过点的直线,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线的上顶点时, 直线的倾斜角为.

(1)求椭圆的方程;
(2)求证:;
(3)若,求直线的方程.
答案

解:(1) .(2)见解析;(3)
解析
本试题主要是考查了椭圆方程的求解,以及利用直线与椭圆的位置关系求解直线的方程,证明线段相等的综合运用。
(1)利用椭圆的几何性质表示得到a,b,c的关系式,从而得到椭圆的方程。
(2)设直线与椭圆方程联系,借助于坐标的关系来证明相等即可。
(3)在第二问的基础上,进一步得到关于直线斜率k的表达式,化简得到直线的方程,
解:(1),因此椭圆的方程为.
(2)当直线垂直轴时,易求得
因此,
当直线不垂直轴时,设
     ①,
    ②,
,则是方程①的解, 是方程②的解.,线段AB,CD的中点重合,
(3).由(2)知,,当直线垂直轴时,不合要求;
当直线不垂直轴时,设,由(2)知,
,,


,化简可得:
  ,
举一反三
已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4;是过点且相互垂直的两条直线,交椭圆E于两点,交椭圆E于两点,的中点分别为
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)求直线的斜率的取值范围;
(3)求证直线与直线的斜率乘积为定值.
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已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则m的值为(    )
A.B.C.D.

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已知椭圆的一个焦点为F(2,0),离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于不同的A,B两点,与y轴交于E点,且,求实数m的值.
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已知椭圆M:(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线l:x=ky+m与椭圆M交手A,B两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C,求△ABC面积的最大值.
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已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,则此双曲线的离心率为
A.B.C.D.

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