已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率为,且经过点,过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。 (1)求椭圆E的方程(
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已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率为,且经过点,过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。 (1)求椭圆E的方程(
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率为
,且经过点
,过椭圆的左焦点作直线
交椭圆于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。
(1)求椭圆E的方程
(2)现将椭圆E上的点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的一半,求所得曲线的焦点坐标和离心率
(3)是否存在直线
,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线
的方程。若不存在,说明理由。
答案
(1)
;(2)焦点为(0,
),离心率
;
(3)
或
.
解析
本试主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆位置关系的 运用。
解:(1)设椭圆E的方程
,由条件得
解得
,椭圆E的方程
……………4分
(2)由题意,变换后的曲线的方程为
,所以焦点为(0,
),离心率
……………7分
(3)当
轴时,A(
,2),B(
,-2),此时不满足
;
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的斜率是k,且直线过左焦点C(
,0),则直线方程是
。
根据题意有
,设
则
=0。
联立方程
得
,
,
=
=0
得
,经检验满足
所以存在直线AB满足条件,直线AB的方程是
或
。……16分
举一反三
与椭圆
有公共焦点,且离心率
的双曲线的方程是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知
为椭圆
的左、右焦点,
是坐标原点,过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)过左焦点
的直线
与椭圆
交于
、
两点,若
,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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设
是椭圆
的两个焦点,
是椭圆上的动点(不能重合于长轴的两端点),
是
的内心,直线
交
轴于点
,则
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的右焦点为
,点
在圆
上任意一点(点
第一象限内),过点
作圆
的切线交椭圆
于两点
、
.
(1)证明:
;
(2)若椭圆离心率为
,求线段
长度的最大值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
有公共的焦点F
1
,F
2
,P是两曲线的一个交点,则
=( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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