已知椭圆的右焦点为,点在圆上任意一点(点第一象限内),过点作圆的切线交椭圆于两点、.(1)证明:;(2)若椭圆离心率为,求线段长度的最大值.

已知椭圆的右焦点为,点在圆上任意一点(点第一象限内),过点作圆的切线交椭圆于两点、.(1)证明:;(2)若椭圆离心率为,求线段长度的最大值.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的右焦点为,点在圆上任意一点(点第一象限内),过点作圆的切线交椭圆于两点
(1)证明:
(2)若椭圆离心率为,求线段长度的最大值.
答案
(1)略(2)2
解析
(1) 设,先利用焦半径公式表示,然后再想法求出|PQ|,也用x1表示出来.相加即可.
(2)根据离心率可求出a值,进而椭圆方程确定,然后设直线的方程为,由直线QR与圆O相切,进而得到,
然后直线与椭圆方程联立,消y之后,表示出,
,,因而确定当且仅当时,取最大值2.
(1)设,得,…………………3分
是圆的切线,
注意到,……………6分
所以.                           ……………7分
(2)由题意,.     …………………………9分
方法一:设直线的方程为在第一象限,
由直线与圆相切,.  …………………………11分
,消
,则
由(1)知,,…14分

当且仅当时,取最大值2,此时直线的方程为,过焦点
方法二:设,则直线的方程为. ……11分
,消

由(1)知,,……14分

当且仅当时,取最大值2,此时,直线过焦点. 
方法三:由(1)同理可求,则,………11分

当且仅当直线过焦点时等号成立,从而
举一反三
椭圆有公共的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则=(   )
A.B.C.D.

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如图,点是双曲线上的动点,是双曲线的焦点,的平分线上一点,且.某同学用以下方法研究:延长于点,可知为等腰三角形,且的中点,得.类似地:点是椭圆上的动点,是椭圆的焦点,的平分线上一点,且,则的取值范围是          .
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已知椭圆的的右顶点为A,离心率,过左焦点作直线与椭圆交于点P,Q,直线AP,AQ分别与直线交于点
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明以线段为直径的圆经过焦点
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已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,且经过点,过点的直线与椭圆相交于不同的两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存直线,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点相同,且的离心率,又为椭圆的左右顶点,其上任一点(异于).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交直线于点,过作直线的垂线交轴于点,求的坐标;
(Ⅲ)求点在直线上射影的轨迹方程.
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