已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线y=x+与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切,F1,F2为其左、右焦点,P为椭圆C上任一点,△F1PF2的重心

已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线y=x+与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切,F1,F2为其左、右焦点,P为椭圆C上任一点,△F1PF2的重心

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线y=x+与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切,F1,F2为其左、右焦点,P为椭圆C上任一点,△F1PF2的重心为G,内心为I,且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A,B且线段AB的垂直平分线过定点C(,0)求实数k的取值范围。
答案
解:⑴设P(x0,y0),x0±a,则G() ∵IG∥F1F∴Iy=  |F1F2|=2c
∴S△F1PF2=·|F1F2|·|y0|=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|) · ||   ……………………(4分) 
∴2c·3="2a+2c " ∴e== 又∵b= ∴b= ∴a=2∴椭圆C的方程为+=1(6分)
⑵设A(x1, y1)、B(x2, y2  ,消去y  (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
∴△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3又∵x1+x2=-,则y1+y2=
∴线段AB的中点P的坐标为(-, )                    …………(8分)   
又线段AB的垂直平分线l′的方程为y= (x-)                     …………(9分)
点P在直线l′上,=- (-)                   …………(10分)
∴4k2+6km+3="0 " ∴m=-(4k2+3) ∴<4k2+3, ∴k2  
∴k>或k>- ∴k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞)  …………(13分)
解析

举一反三
(本小题满分13分)已知椭圆的长轴长为,离
心率
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点B(2,0)的直线(斜率不等于零)与椭圆C交于点E,F,且
求直线的方程。
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已知分别为椭圆的左、右两个焦点,一条直线经过点与椭圆交于两点, 且的周长为8。
(1)求实数的值;
(2)若的倾斜角为,求的值。
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已知椭圆E的下焦点为、上焦点为,其离心 率。过焦点F2且与轴不垂直的直线l交椭圆于AB两点。
(1)求实数的值;  
(2)求DABOO为原点)面积的最大值.
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∈(0,),方程表示焦点在x轴上的椭圆,则的取值范围是(  )
A.(0,B.(,)C.(0,)D.[,)

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如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则(   ).
A.50B.35C.32D.41

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