(本小题满分14分)已知椭圆的方程为:,其焦点在轴上,离心率.(1)求该椭圆的标准方程;(2)设动点满足,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为,求

(本小题满分14分)已知椭圆的方程为:,其焦点在轴上,离心率.(1)求该椭圆的标准方程;(2)设动点满足,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为,求

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(本小题满分14分)已知椭圆的方程为:,其焦点在轴上,离心率.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设动点满足,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,给出证明;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)由,解得
故椭圆的标准方程为.         ……………………3分
(2)设,
则由,得

∵点M,N在椭圆上,∴ ……6分
分别为直线的斜率,由题意知,
,∴,    ……………………8分


(定值)            ……………………10分
(3)由(2)知点是椭圆上的点,

∴该椭圆的左右焦点满足为定值,
因此存在两个定点,使得为定值。   …………………14分
解析

举一反三
(本小题满分16分)已知椭圆的离心率为,直线
与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直与椭圆的长轴,动直线垂直于直线于点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程.
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已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆(a>b>0)的右焦点交椭圆于A.B两点,P为直线上任意一点,则∠APB为 (    )
A.钝角    
B.直角          
C.锐角         
D.都有可能
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已知椭圆的离心率为,其中左焦点
①求椭圆的方程
②若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的中关于直线的对称点在圆上,求的值
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(本题满分12分)设分别为椭圆C:的左右两个焦点,椭圆上的点)到两点的距离之和等于4,设点
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
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过点(5,0)的椭圆与双曲线有共同的焦点,
则该椭圆的短轴长为(   )
A.B.C.D.

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