(14分)设F1、F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点
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(14分)设F1、F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点
题型:不详
难度:
来源:
(14分)设
F
1
、
F
2
分别为椭圆
C
:
=1(
a
>
b
>0)的左、右两个焦点.
(1)若椭圆
C
上的点
A
(1,
)到
F
1
、
F
2
两点的距离之和等于4,写出椭圆
C
的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段
F
1
K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若
M
、
N
是椭圆
C
上关于原点对称的两个点,点
P
是椭圆上任意一点,当直线
PM
、
PN
的斜率都存在,并记为
k
PM
、
k
PN
时,那么
k
PM
与
k
PN
之积是与点
P
位置无关的定值.试对双曲线
写出具有类似特性的性质,并加以证明.
答案
(1)椭圆
C
的方程为
=1,焦点
F
1
(-1,0),
F
2
(1,0).
(2)
为所求的轨迹方程.
(3)
k
PM
·
k
PN
=
.证明略
解析
解:(1)椭圆
C
的焦点在
x
轴上,由椭圆上的点
A
到
F
1
、
F
2
两点的距离之和是4,得2
a
=4,即
a
=2.又点
A
(1,
)在椭圆上,因此
=1得
b
2
=3,于是
c
2
=1.
所以椭圆
C
的方程为
=1,焦点
F
1
(-1,0),
F
2
(1,0).
(2)设椭圆
C
上的动点为
K
(
x
1
,
y
1
),线段
F
1
K
的中点
Q
(
x
,
y
)满足:
, 即
x
1
=2
x
+1,
y
1
=2
y
.
因此
=1.即
为所求的轨迹方程.
(3)类似的性质为:若
M
、
N
是双曲线:
=1上关于原点对称的两个点,点
P
是双曲线上任意一点,当直线
PM
、
PN
的斜率都存在,并记为
k
PM
、
k
PN
时,那么
k
PM
与
k
PN
之积是与点
P
位置无关的定值.
设点
M
的坐标为(
m
,
n
),则点
N
的坐标为(-
m
,-
n
),其中
=1.
又设点
P
的坐标为(
x
,
y
),由
,
得
k
PM
·
k
PN
=
,将
m
2
-
b
2
代入得
k
PM
·
k
PN
=
.
举一反三
若
P
是以
为焦点的椭圆
上的一点,且
,则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知椭圆C:
的离心率为
,椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线
:
与椭圆C交于A,B两点,点P(0,1),且
,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知椭圆C:
的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切,求椭圆焦点坐标;
(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆交于M,N两点,直线PM,PN的斜率乘积为
,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
,曲线
是以椭圆中心为顶点,
为焦点的抛物线.
(1)求曲线
的方程;
(2)直线
与曲线
交于不同的两点
、
.当
时,求直线
的倾斜角
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)已知椭圆
两焦点分别为
、
,
是椭圆在第一象限弧上的一点,并满足
,过点
作倾斜角互补的两条直线
、
分别交椭圆于
、
两点.
(1)求
点坐标;
(2)证明:直线
的斜率为定值,并求出该定值;
(3)求△
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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