(Ⅰ) 解法一:若直线斜率不存在,则直线的方程为,由椭圆的对称性可知,,两点关于轴对称,A,B的中点为(4,0),又线段AB恰为圆的直径,则圆心为(4,0),这与已知圆心为(4,1)矛盾,因此直线斜率存在,…………1分 所以可设AB直线方程为,且设A(x1,y1)、B(x2,y2), 设椭圆方程,…………………2分 将AB直线方程为代入到椭圆方程得,即(1),………………………………4分 ,解得,故直线AB的方程为,…………6分 将代入方程(1)得5x2-40x+100-4b2=0., ,得. …………………………………7分=,得,解得b2=9.. 故所求椭圆方程为. ………………………………………………8分 解法二: 设椭圆方程,…………1分 又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则, 又,两式相减,得,……3分 即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,. 若,直线的方程为,由椭圆的对称性可知,,两点关于轴对称,A,B的中点为(4,0),又线段AB恰为圆的直径,则圆心为(4,0),这与已知圆心为(4,1)矛盾,所以. 因此直线斜率存在,且 =-1,故直线AB的方程为, ……5分 代入椭圆方程,得5x2-40x+100-4b2="0" . ………………………………6分 ,,得.……………………7分 |AB|=, 得,解得b2=9.故所求椭圆方程为. ……8分 (Ⅱ)因为的中点是原点, 所以,所以与共线, …………………10分, 而直线AB的方程为y=-x+5,所以直线所在的直线方程为y=-x. ,或. 所以P点坐标为,. …………………12分 |