(Ⅰ)证法一:由题设及,,不妨设点,其中.由于点在椭圆上,有,即. 解得,从而得到. 直线的方程为,整理得. 由题设,原点到直线的距离为,即, 将代入上式并化简得,即. 证法二:同证法一,得到点的坐标为. 过点作,垂足为,易知,故. 由椭圆定义得,又, 所以, 解得,而,得,即. (Ⅱ)解法一:设点的坐标为. 当时,由知,直线的斜率为,所以直线的方程为,或,其中,. 点的坐标满足方程组 将①式代入②式,得, 整理得, 于是,. 由①式得 . 由知.将③式和④式代入得, . 将代入上式,整理得. 当时,直线的方程为,的坐标满足方程组 所以,. 由知,即, 解得. 这时,点的坐标仍满足. 综上,点的轨迹方程为 . 解法二:设点的坐标为,直线的方程为,由,垂足为,可知直线的方程为. 记(显然),点的坐标满足方程组 由①式得. ③ 由②式得. ④ 将③式代入④式得. 整理得, 于是. ⑤ 由①式得. ⑥ 由②式得. ⑦ 将⑥式代入⑦式得, 整理得, 于是. ⑧ 由知.将⑤式和⑧式代入得, . 将代入上式,得. 所以,点的轨迹方程为. |