如图,已知椭圆C:,经过椭圆的右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点,M为线段AB的中点,设O为椭圆的中心,射线OM交椭圆于N点.(I)是否存在,使对任意
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如图,已知椭圆C:,经过椭圆的右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点,M为线段AB的中点,设O为椭圆的中心,射线OM交椭圆于N点.(I)是否存在,使对任意
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知椭圆
C
:
,经过椭圆
的右焦点F且斜率为
的直线
l
交椭圆
C
于A、B两点,M为线段AB的中点,设O为椭圆的中心,射线OM交椭圆于N点.
(I)是否存在
,使对任意
,总有
成立?若存在,求出所有
的值;
(II)若
,求实数
的取值范围.
答案
故存在
,使
,
解析
解:(1)椭圆
C
:
直线
AB
:
y
=
k
(
x
-
m
),
,(10
k
2
+6)
x
2
-20
k
2
mx
+10
k
2
m
2
-15m
2
=0.
设
A
(
x
1
,
y
1
)、
B
(
x
2
,
y
2
),则
x
1
+
x
2
=
,
x
1
x
2
=
则
x
m
=
若存在
,使
为
ON
的中点,∴
.
∴
,
即N点坐标为
.
由N点在椭圆上,则
即5
k
4
-2
k
2
-3=0.∴
或
(舍).
故存在
,使
.
(2)
=
x
1
x
2
+
k
2
(
x
1
-m)(
x
2
-
m
)
=(1+
k
2
)
x
1
x
2
-
k
2
m(
x
1
+
x
2
)+
k
2
m
2
=(1+
k
2
)·
由
得
即
k
2
-15≤-20
k
2
-12,
且
k
≠0.
举一反三
(本小题满分16分)已知椭圆
:
的左、右焦点分别为
,下顶点为
,点
是椭圆上任一点,⊙
是以
为直径的圆.
(Ⅰ)当⊙
的面积为
时,求
所在直线的方程;
(Ⅱ)当⊙
与直线
相切时,求⊙
的方程;
(Ⅲ)求证:⊙
总与某个定圆相切.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)一动圆与已知
:
相外切,与
:
相内切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C;
(Ⅱ)若轨迹C与直线y="kx+m" (k≠0)相交于不同的两点M、N,当点A(0,
1)满足|
|=|
| 时,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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10.已知
分别是椭圆
的上、下顶点和右焦点,直线
与椭圆的右准线交于点
,若直线
∥
轴,则该椭圆的离心率
=
▲
.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆方程为
,它的一个顶点为
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线
与椭圆交于
A
,
B
两点,坐标原点
O
到直线
l
的距离为
,求
△AOB
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点、焦点在
轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线
:
与
椭圆交于不同的两点M,N(M,N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线
过定点,并求出定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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