中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y－1=0相交于两点Ｍ、Ｎ，且以为直径的圆经过坐标原点．求椭圆的方程．

题型：不详难度：来源：

中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y－1=0相交于两点Ｍ、Ｎ，且以为直径的圆经过坐标原点．求椭圆的方程．

答案

解析

由题意,设中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆方程为,
∵离心率e= ∴a=2b,∴椭圆的方程可化为
设，由于点Ｍ、Ｎ都在直线x+y－1=0上，
因此，＝
∵以为直径的圆经过坐标原点,即ＯＭ⊥ＯＮ，∴即,
即,将直线x+y－1=0与椭圆的方程联立消去y得:
,∵Ｍ、Ｎ是直线与椭圆的两交点,
∴，,代入得:
,　解得，∴,
∴所求的椭圆方程为,即.