已知圆上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足.(I)求点G的轨迹C的方程;(II)过点(2,0)作直线,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设 是否存在
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已知圆上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足.(I)求点G的轨迹C的方程;(II)过点(2,0)作直线,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设 是否存在
题型:不详
难度:
来源:
已知圆
上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足
.
(I)求点G的轨迹C的方程;
(II)过点(2,0)作直线
,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
是否存在这样的直线
,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线
的方程;若不存在,试说明理由.
答案
(Ⅰ)点G的轨迹方程是
(Ⅱ)存在直线
解析
(1)
Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线
|PG|="|GN| "
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长
,半焦距
,∴短半轴长b=2,∴点G的轨迹方程是
………5分
(2)因为
,所以四边形OASB为平行四边形
若存在
l
使得|
|=|
|,则四边形OASB为矩形
若
l
的斜率不存在,直线
l
的方程为
x
=2,由
矛盾,故
l
的斜率存在. ………7分
设
l
的方程为
①
② ……………9分
把①、②代入
∴存在直线
使得四边形OASB的对角线相等.
举一反三
已知定圆
圆心为
A
,动圆
M
过点
B
(1,0)且和圆
A
相切,动圆的圆心
M
的轨迹记为
C
.
(I)求曲线
C
的方程;
(II)若点
为曲线
C
上一点,求证:直线
与曲线
C
有且只有一个交点.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的离心率为,且其焦点F(c,0)(c>0)到相应准线l的距离为3,过焦点F的直线与椭圆交于A、B两点。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设M为右顶点,则直线AM、BM与准线
l
分别交于P、Q两点,(P、Q两点不重合),求证:
题型:不详
难度:
|
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求两焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0),且经过点P(2,
)的椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
的左、右焦点为F
1
、F
2
,离心率为
e
. 直线
与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线
l
与椭圆C的一个公共点,P是点F
1
关于直线
l
的对称点,设
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若
的周长为6;写出椭圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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设直线
与椭圆
相交于
A
、
B
两个不同的点,与
x
轴相交于点
C
,记
O
为坐标原点.
(1)证明:
;
(2)若
的面积取得最大值时的椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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