如图,过点B(0,-b)作椭圆=1(a>b>0)的弦,求这些弦长的最大值.

题型：不详难度：来源：

如图,过点B(0,-b)作椭圆=1(a>b>0)的弦,求这些弦长的最大值.

答案

|BM|的最大值为2b.

解析

设M(x,y)是椭圆上任一点.
|BM|²=x²+(y+b)²=x²+y²+2by+b²,由=1,有x²=(b²-y²).
将其代入上式,整理,然后配方有
|BM|²=(1-)y²+2by+(a²+b²)
=(1-)·(y-)²+.
∵-b≤y≤b,
(1)当b≤c(即b≤a)时,≤b,
∴y=时,|BM|的最大值为;
(2)当b>c(即b>a)时,>b,故y=b时,点M在(0,b),即y轴上之顶点位置,|BM|²的最大值为(1-)(b-)²+=4b².
∴|BM|的最大值为2b.