已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=3相交于A、B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,O是坐标原点,OC的斜率为2,求椭圆的方程.

题型：不详难度：来源：

已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=3相交于A、B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,O是坐标原点,OC的斜率为2,求椭圆的方程.

答案

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解析

思路分析一:本题涉及弦长、弦的中点,可以将弦长公式与点差法综合运用解决问题.
设椭圆方程为mx²+ny²=1(m>0,n>0),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀),
则mx₁²+ny₁²=1,mx₂²+ny₂²=1.
两式相减得m(x₁+x₂)(x₁-x₂)+n(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.
∴k_AB=.
又∵k_OC==2,∴=2,即m=2n.
将y=3-x代入椭圆方程mx²+ny²=1,得(m+n)x²-6nx+9n-1=0.
由弦长公式得|AB|=
=.
将m=2n代入得n=,m=.
故所求椭圆方程为2x²+y²=9.