设椭圆的中心为坐标原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角,两准线间的距离等于8,求椭圆方程.

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设椭圆的中心为坐标原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角,两准线间的距离等于8,求椭圆方程.
答案
椭圆方程为+ =1.
解析
依题意,设所求椭圆方程为+=1,
∵椭圆右焦点F(c,0)与短轴两端点AB连成60°的角,
如图,则∠AFB=60°,△AFB为等边三角形,
于是有a=2b.                                                                                                         ①
又由两准线间的距离等于8,得=8.                                           ②
联立①②两方程,解得a=6,b=3.
故所求椭圆方程为+ =1.
举一反三
已知椭圆+=1,过点P(2,1)引一条弦,使它在这点被平分,求此弦所在的直线方程.
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在△ABC中,已知B(-2,0)、C(2,0),ADBC于点D,△ABC的垂心为H,且=.

(1)求点H(x,y)的轨迹G的方程;
(2)已知P(-1,0)、Q(1,0),M是曲线G上的一点,那么,,能成等差数列吗?若能,求出M点的坐标;若不能,请说明理由.
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AB为过椭圆+=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值是
A.b2B.ab
C.acD.bc

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P在椭圆7x2+4y2=28上,则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为
A.B.
C.D.

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A.B.C.D.

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