已知动点P与直x=4的距离等于它到定点F(1,0)的距离的2倍,(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)点M(1,1)在所求轨迹内,且过点M的直线与曲线C交于A、B

已知动点P与直x=4的距离等于它到定点F(1,0)的距离的2倍,(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)点M(1,1)在所求轨迹内,且过点M的直线与曲线C交于A、B

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已知动点P与直x=4的距离等于它到定点F(1,0)的距离的2倍,
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)点M(1,1)在所求轨迹内,且过点M的直线与曲线C交于A、B,当M是线段AB中点时,求直线AB的方程.
答案
(1)设动点P(x,y),由
|x-4|


(x-1)2+y2
=2
,平方整理得
x2
4
+
y2
3
=1
即为轨迹C的方程.
(2)当直线AB的斜率不存在时,直线x=1与椭圆交于两点,由图形的对称性,
线段AB的中点应在x轴上,M点不满足题意.故直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y-1=k(x-1)
设A(x1,y1),B(x2,y2





x12
4
+
y12
3
= 1
x22
4
+
y22
3
=1
作差得
x12-x22
4
=-
y12-y22
3

k=
y1-y2
x1-x2
=-
3
4
x1+x2
y1+y2
=-
3
4

直线AB的方程为:y-1=-
3
4
(x-1)

即3x+4y-7=0
举一反三
△ABC三边成等差数列且a>c>b,已知顶点A(-1,0),B(1,0),则顶点C的轨迹方程为(  )
A.
x2
4
+
y2
3
=1(x≠0)
B.
x2
4
+
y2
3
=1(y≠0)
C.
x2
4
+
y2
3
=1(x<0)
D.
x2
4
+
y2
3
=1(x<0,y≠0)
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已知动点P(x,y)满足10


(x-1)2+(y-2)2
=|3x+4y|
,则P点的轨迹是______.
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P是椭圆
x2
5
+
y2
4
=1
上在第一象限的点,已知以点P及椭圆焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为(  )
A.(


15
2
,1)
B.(1,


15
2
C.(
5


7
6
1
3
D.(
1
3
5


7
6
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学习了圆锥曲线及其方程后,对于一个一般的二元二次方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),请你写出一个它分别表示
①直线; ②圆; ③椭圆; ④双曲线; ⑤抛物线的必要条件.
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已知F1、F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,M是椭圆上任意一点,若△MF1F2的周长为6,椭圆的离心率e=
1
2

(1)求椭圆方程;
(2)若O为坐标原点,求|OM|的最大值与最小值.
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