已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明-a2-b2a<x0<a2-b2a.
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明-a2-b2a<x0<a2-b2a.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x
0
,0).证明
-
a
2
-
b
2
a
<
x
0
<
a
2
-
b
2
a
.
答案
证明:设A、B的坐标分别为(x
1
,y
1
)和(x
2
,y
2
).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x
1
≠x
2
.又交点为P(x
0
,0),故|PA|=|PB|,即
(x
1
-x
0
)
2
+y
1
2
=(x
2
-x
0
)
2
+y
2
2
①
∵A、B在椭圆上,
∴
y
21
=
b
2
-
b
2
a
2
x
21
,
y
22
=
b
2
-
b
2
a
2
x
22
.
将上式代入①,得
2(x
2
-x
1
)x
0
=
(
x
22
-
x
21
)
a
2
-
b
2
a
2
②
∵x
1
≠x
2
,可得
x
0
=
x
1
+
x
2
2
•
a
2
-
b
2
a
2
.③
∵-a≤x
1
≤a,-a≤x
2
≤a,且x
1
≠x
2
,
∴-2a<x
1
+x
2
<2a,
∴
-
a
2
-
b
2
a
<
x
0
<
a
2
-
b
2
a
.
举一反三
简化的北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设内层椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,则外层椭圆方程可设为
x
2
(ma)
2
+
y
2
(mb)
2
=1(a>b>0,m>1)
.若AC与BD的斜率之积为
-
9
16
,则椭圆的离心率为( )
A.
7
4
B.
2
2
C.
6
4
D.
3
4
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则该椭圆的离心率是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
,能否在y轴左侧的椭圆上找到一点M,使点M到左准线l的距离|MN|为点M到两焦点的距离的等差中项?若M存在,求出它的坐标,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC为正三角形,点A,B为椭圆的焦点,点C为椭圆一顶点,则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为( )
A.
1
2
B.
1
4
C.
3
2
D.
3
3
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是______.
题型:不详
难度:
|
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