已知△ABC为正三角形,点A,B为椭圆的焦点,点C为椭圆一顶点,则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为( )A.12B.14C.32D.33
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已知△ABC为正三角形,点A,B为椭圆的焦点,点C为椭圆一顶点,则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为( )A.12B.14C.32D.33
题型:不详
难度:
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已知△ABC为正三角形,点A,B为椭圆的焦点,点C为椭圆一顶点,则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为( )
A.
1
2
B.
1
4
C.
3
2
D.
3
3
答案
不妨设正三角形ABC的边长为2,以AB所在的边为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,
则以A,B为椭圆的焦点,点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,(a>b>0).
依题意,a=2,c=1,
∴b=
2
2
-1
1
=
3
,
∴椭圆的方程为:
x
2
4
+
y
2
3
=1,
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=
1
2
×2a×2b=2ab=4
3
;
又S
△ABC
=
1
2
|AB|•|AC|•sin60°=
3
,
∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为
3
4
3
=
1
4
.
故选B.
举一反三
椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的短轴长为6,离心率为
4
5
,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个顶点到其左、右两个焦点F
1
,F
2
的距离分别为5和1;点P是椭圆上一点,且在x轴上方,直线PF
2
的斜率为
-
15
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)求△F
1
PF
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点,满足
M
F
1
⊥
M
F
2
的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1,F
1
F
2
是它的两个焦点,P是这个椭圆上任意一点,那么当|PF
1
|•|PF
2
|取最大值时,P、F
1
、F
2
三点( )
A.共线
B.组成一个正三角形
C.组成一个等腰直角三角形
D.组成一个锐角三角形
题型:不详
难度:
|
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