如图,F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.(Ⅰ

如图,F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.(Ⅰ

题型:不详难度:来源:
如图,F1、F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)已知△AF1B的面积为40


3
,求a,b的值.
答案
(Ⅰ)∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e=
c
a
=
1
2

(Ⅱ)设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m,
在三角形BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos120°
⇔(2a-m)2=m2+a2+am.⇔m=
3
5
a

△AF1B面积S=
1
2
|BA||F1A|sin60°
1
2
×a×(a+
3
5
a)×


3
2
=40


3

⇔a=10,
∴c=5,b=5


3
举一反三
椭圆
t2
5
+
y2
4
=口
的十个焦点坐标是(  )
A.(3,0)B.(0,3)C.(1,0)D.(0,1)
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为4,F1F2分别是椭圆C的左,右焦点,直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点为A,△AF1F2的面积为2


6
,点P(x0,y0),是椭圆C上的动点w.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若∠F1PF2为钝角,求点P的横坐标x0的取值范围;
(3)求


3
PF1+


2
PA的最小值.
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已知P是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
上的点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为______.
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若椭圆
x2
2
+
y2
m
=1
的离心率为
1
2
,则实数m等于(  )
A.
3
2
B.
3
8
C.
3
2
8
3
D.
3
8
2
3
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已知F是椭圆5x2+9y2=45的右焦点,P为该椭圆上的动点,A(2,1)是一定点.
(1)求|PA|+
3
2
|PF|
的最小值,并求相应点P的坐标;
(2)求|PA|+|PF|的最大值与最小值;
(3)过点F作倾斜角为60°的直线交椭圆于M、N两点,求|MN|;
(4)求过点A且以A为中点的弦所在的直线方程.
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