如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ

题型：不详难度：来源：

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF₁B的面积为40

3

，求a，b的值．

答案

（Ⅰ）∠F₁AF₂=60°⇔a=2c⇔e=

c

a

=

1

2

．
（Ⅱ）设|BF₂|=m，则|BF₁|=2a-m，
在三角形BF₁F₂中，|BF₁|²=|BF₂|²+|F₁F₂|²-2|BF₂||F₁F₂|cos120°
⇔（2a-m）²=m²+a²+am．⇔m=

3

5

a．
△AF₁B面积S=

1

2

|BA||F₁A|sin60°
⇔

1

2

×a×(a+

3

5

a)×

3

2

=40

3

⇔a=10，
∴c=5，b=5

3

．