已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右两焦点分别为F1、F2.直线L经过椭圆C的右焦点F2,且与椭圆交于A、B两点.若A、B、F1构成周长为
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右两焦点分别为F1、F2.直线L经过椭圆C的右焦点F2,且与椭圆交于A、B两点.若A、B、F1构成周长为
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,其左、右两焦点分别为F
1
、F
2
.直线L经过椭圆C的右焦点F
2
,且与椭圆交于A、B两点.若A、B、F
1
构成周长为4
2
的△ABF
1
,椭圆上的点离焦点F
2
最远距离为
2
+1
,且弦AB的长为
4
2
3
,求椭圆和直线L的方程.
答案
依题意,设该椭圆的焦距为2c,
则
4a=4
2
a+c=
2
+1
a
2
=
b
2
+
c
2
,
解得a=
2
,b=c=1,
所以椭圆方程为
x
2
2
+
y
2
=1
,
由题意可设直线L的方程为y=k(x-1),
联立直线与椭圆方程得到
y=k(x-1)
x
2
2
+
y
2
=1
,
整理得(1+2k
2
)x
2
-4k
2
x+2k
2
-2=0,
若A,B两点的横坐标为x
1
,x
2
,
则
x
1
+
x
2
=
4
k
2
1+2
k
2
x
1
x
2
=
2
k
2
-2
1+2
k
2
(*),
△=16k
4
-8(k
2
-1)(1+2k
2
)>0,
又由弦AB的长为
4
2
3
,
则
[(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
](1+
k
2
)
=
4
2
3
将(*)式代入得k
2
=1,即k=±1
所以所求椭圆方程为
x
2
2
+
y
2
=1
,直线方程为y=x-1或y=-x+1.
举一反三
过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B两点,若|FA|=
3
2
|FB|,则椭圆的离心率等于( )
A.
2
3
B.
2
5
C.
1
2
D.
2
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
设F
1
,F
2
是椭圆
x
2
8
+
y
2
4
=1
的左、右两个焦点,P是椭圆上的点,|PF
1
|•|PF
2
|=5,则cos∠F
1
PF
2
等于( )
A.
-
3
5
B.
-
1
10
C.
1
10
D.
3
5
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),c=
a
2
-
b
2
,圆(x-c)
2
+y
2
=c
2
与椭圆恰有两个公共点,则椭圆的离心率e的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知过椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的焦点F(-1,0)的弦AB的中点M的坐标是(-
2
3
,
1
3
),则椭圆E的方程是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设点P是椭圆
x
2
49
+
y
2
24
=1
上一动点,F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,若|PF
1
|=6,则|OP|长为( )
A.5
B.10
C.8
D.7
题型:不详
难度:
|
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