已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的

已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的

题型:不详难度:来源:
已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是(  )
A.(0,
1
3
B.(
1
3
1
2
C.(
1
3
2
5
D.(
2
5
,1)
答案
设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其离心率为e1,双曲线的方程为
x2
m2
-
y2
n2
=1(m>0,n>0),|F1F2|=2c,
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,
∴在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a,而|PF2|=|F1F2|=2c,
∴|PF1|=2a-2c;①
同理,在该双曲线中,|PF1|=2m+2c;②
由①②可得a=m+2c.
∵e2=
c
m
∈(1,2),
1
2
1
e2
=
m
c
<1,
又e1=
c
a
=
c
m+2c

1
e1
=
m+2c
c
=
m
c
+2∈(
5
2
,3),
1
3
<e1
2
5

故选C.
举一反三
以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是(  )
A.相离B.相交C.内切D.无法确定
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已知F1、F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦点;M为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且∠F1MF2=60°,则椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.


3
3
D.


3
2
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已知椭圆
x2
2
+y2=1
,则该椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.


3
3
D.


2
3
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椭圆
x2
36
+
y2
27
=1
,过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点,AB的垂直平分线交x轴于N,则|NF|:|AB|等于______.
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若两集合A=[0,3],B=[0,3],分别从集合A、B中各任取一个元素m、n,即满足m∈A,n∈B,记为(m,n),
(Ⅰ)若m∈Z,n∈Z,写出所有的(m,n)的取值情况,并求事件“方程
x2
m+1
+
y2
n+1
=1
所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆”的概率;
(Ⅱ)求事件“方程
x2
m+1
+
y2
n+1
=1
所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆,且长轴长大于短轴长的


2
倍”的概率.
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