椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围
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椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围
题型:不详
难度:
来源:
椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F
1
,F
2
,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F
1
F
2
P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.
(
1
3
,
2
3
)
B.
(
1
2
,1)
C.
(
2
3
,1)
D.
(
1
3
,
1
2
)∪(
1
2
,1)
答案
①当点P与短轴的顶点重合时,
△F
1
F
2
P构成以F
1
F
2
为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F
1
F
2
P;
②当△F
1
F
2
P构成以F
1
F
2
为一腰的等腰三角形时,
以F
2
P作为等腰三角形的底边为例,
∵F
1
F
2
=F
1
P,
∴点P在以F
1
为圆心,半径为焦距2c的圆上
因此,当以F
1
为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F
1
F
2
P,
此时a-c<2c,解得a<3c,所以离心率e
>
1
3
当e=
1
2
时,△F
1
F
2
P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠
1
2
同理,当F
1
P为等腰三角形的底边时,在e
>
1
3
且e≠
1
2
时也存在2个满足条件的等腰△F
1
F
2
P
这样,总共有6个不同的点P使得△F
1
F
2
P为等腰三角形
综上所述,离心率的取值范围是:e∈(
1
3
,
1
2
)∪(
1
2
,1)
举一反三
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左,右两个焦点分别为F
1
,F
2
,短轴的上端点为B,短轴上的两个三等分点为P,Q,且F
1
PF
2
Q为正方形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为
-
3
2
4
,求此椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点为F
1
(-c,0)、F
2
(c,0),M是椭圆上一点,且满足
F
1
M
•
F
2
M
=0
.
(1)求离心率e的取值范围;
(2)当离心率e取得最小值时,点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为
5
2
,求此时椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
的左、右焦点为F
1
、F
2
,一直线过F
1
交椭圆于A、B,则△ABF
2
的周长为( )
A.8
B.14
C.16
D.20
题型:不详
难度:
|
查看答案
两个正数1、9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线
x
2
a
+
y
2
b
=1
的离心率为( )
A.
10
5
B.
2
10
5
C.
4
5
D.
10
5
与
2
10
5
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图所示,设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的面积为abπ,过坐标原点的直线l、x轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s、t,则s关于t的函数图象大致形状为图中的( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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