过椭圆x22+y2=1的左焦点F作斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点,使得AB的中点M在直线x+2y=0上.(1)求k的值;(2)设C(-2,0),求t
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过椭圆x22+y2=1的左焦点F作斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点,使得AB的中点M在直线x+2y=0上.(1)求k的值;(2)设C(-2,0),求t
题型:不详
难度:
来源:
过椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
的左焦点F作斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点,使得AB的中点M在直线x+2y=0上.
(1)求k的值;
(2)设C(-2,0),求tan∠ACB.
答案
(1)由椭圆方程,a=
2
,b=1,c=1,则点F为(-1,0).
直线AB方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,得
(2k
2
+1)x
2
+4k
2
x+2k
2
-2=0.①
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(x
0
,y
0
),则
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=-
2
k
2
2
k
2
+1
,y
0
=k(x
0
+1)=
k
2
k
2
+1
,
由点M在直线x+2y=0上,知-2k
2
+2k=0,
∵k≠0,
∴k=1.…(6分)
(2)将k=1代入①式,得3x
2
+4x=0,
不妨设x
1
>x
2
,则x
1
=0,x
2
=-
4
3
,…(8分)
记α=∠ACF,β=∠BCF,则
tanα=
y
1
x
1
+2
=
x
1
+1
x
1
+2
=
1
2
,tanβ=-
y
2
x
2
+2
=-
x
2
+1
x
2
+2
=
1
2
,
∴α=β,
∴tan∠ACB=tan2α=
2tanα
1-ta
n
2
α
=
4
3
.…(12分)
举一反三
已知椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1 的两个焦点是F
1
,F
2
,点P在该椭圆上.若|PF
1
|-|PF
2
|=2,则△PF
1
F
2
的面积是______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点F,直线
x=
a
2
c
与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.
(0,
2
2
]
B.
(0,
1
2
]
C.
[
2
-1,1)
D.
[
1
2
,1)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,焦点F
1
、F
2
在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F
1
PF
2
的最大值为90°,直线l过左焦点F
2
与椭圆交于A、B两点,△ABF
2
的面积最大值为12.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)求椭圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
3
+
y
2
2
=1的焦点坐标是( )
A.(±1,0))
B.(0,±
5
)
C.(±
5
,0
D.(0,±1)
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的两个焦点分别为F
1
,F
2
,若点P椭圆上,且
cos∠
F
1
P
F
2
=
1
2
,则|PF
1
|•|PF
2
|=______.
题型:不详
难度:
|
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