椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F，直线x=a2c与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　

题型：不详难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，直线x=

a2

c

与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．(0， 2 2 ]

B．(0， 1 2 ]

C．[ 2 -1，1)

D．[ 1 2 ，1)

答案

由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=

a2

c

-c=

b2

c

|PF|∈[a-c，a+c]
于是

b2

c

∈[a-c，a+c]
即ac-c²≤b²≤ac+c²
∴

ac-c2≤a2-c2 a2-c2≤ac+c2

c a ≤1 c a ≤-1或 c a ≥ 1 2

又e∈（0，1）
故e∈[

1

2

，1]．
故选D．