已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆x24+y23=1的右焦点重合.(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)设P(1,2),是否存在平行于O

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆x24+y23=1的右焦点重合.(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)设P(1,2),是否存在平行于O

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已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的右焦点重合.
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)设P(1,2),是否存在平行于OP(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OP与l的距离等于


5
5
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)∵椭圆的右焦点F(1,0),
p
2
=1,p=2

∴抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为2x+b,





y2=4x
y=2x+b
,得y2-2y+2b=0,
∵直线l与抛物线有公共点,
∴△=4-8b≥0,即b
1
2

∵直线OP与l的距离d=


5
5

|b|


5
=
1


5
,即b=±1.
从而b=-1.
∴符合题意的直线l存在,其方程为y=2x-1.
举一反三
已知椭圆
x2
100
+
y2
36
=1
上一点P到左焦点的距离为8,则它到右准线的距离为(  )
A.6B.8C.10D.15
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为


3
2
,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围.
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我国发射的“嫦娥1号”绕月卫星的运行轨道是以月球的中心F2为一个焦点的椭圆,近地点A距地面为m千米,远地点B距地面为n千米,月球半径为R千米,则卫星运行轨道的短轴长为(  )
A.mnB.2mnC.2


(m+r)(n+R)
D.


(m+r)(n+R)
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点(
b
2
,0)
分成3:1的两段,则椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.
2
3
C.
1
3
D.


2
2
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椭圆x2+
y2
4
=1
的离心率是(  )
A.


2
2
B.


3
2
C.
3
5
D.
4
5
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