已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围.

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为


3
2
,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围.
答案
(1)∵
c
a
=


3
2

b
a
=
1
2
,依题意设椭圆方程为:
x2
4b2
+
y2
b2
=1
,把点(4,1)代入,得b2=5,
∴椭圆方程为
x2
20
+
y2
5
=1
.(5分)
(2)把y=x+m代入椭圆方程得:5x2+8mx+4m2-20=0,
∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B,
∴△=64m2-4×5(4m2-20)>0,整理得m2<25,
∴-5<m<5.(10分)
举一反三
我国发射的“嫦娥1号”绕月卫星的运行轨道是以月球的中心F2为一个焦点的椭圆,近地点A距地面为m千米,远地点B距地面为n千米,月球半径为R千米,则卫星运行轨道的短轴长为(  )
A.mnB.2mnC.2


(m+r)(n+R)
D.


(m+r)(n+R)
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点(
b
2
,0)
分成3:1的两段,则椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.
2
3
C.
1
3
D.


2
2
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椭圆x2+
y2
4
=1
的离心率是(  )
A.


2
2
B.


3
2
C.
3
5
D.
4
5
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椭圆


x2+(y+1)2
=
|x-2y+3|
5
的短轴长为______.
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已知椭圆焦点在x轴,中心在原点,过左焦点F1作垂直于x轴的弦AB,使得△ABF2为正三角形,则椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.


3
3
C.
2
3
D.


5
-1
2
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