椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（　　）A．352B．3+

题型：不详难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（　　）

A． 3 5 2

B． 3+ 5 8

C． 5 -1 2

D． 5 +1 4

答案

由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1
即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点
∴原点到直线AB的距离为

|ab|

b2+a2

=c
∴a²b²=c²（a²+b²）
∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²）
∴a⁴-3a²c²+c⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∴e2=

3± 5

2

∵0＜e＜1
∴e=

5 -1

2

故选C．