椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为(  )A.3

椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为(  )A.3

题型:不详难度:来源:
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为(  )
A.


3
-1
2
B.
1+


5
4
C.


5
-1
2
D.


3
+1
4
答案
依题意可知点F(-c,0)
直线AB斜率为
b-0
0-a
=-
b
a
,直线BF的斜率为
0-b
c-0
=-
b
c

∵∠FBA=90°,
∴( -
b
a
)•( -
b
c
)=
b2
ac
=
a2-c2
ac
=-1
整理得c2-ac-a2=0,即
c
a
2+
c
a
-1=0,即e2-e-1=0
解得e=


5
-1
2


5
+1
2

∵e<1
∴e=


5
-1
2

故选C.
举一反三
抛物线的顶点是椭圆16x2+25y2=400的中心,而焦点是椭圆的右焦点,求此抛物线的方程.
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若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上横坐标为
a
3
的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离,则椭圆离心率e的取值范围是______.
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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,两条准线与x轴的交点分别为M,N,若MN≤2F1F2,则该椭圆的离心率的取值范围是______.
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已知椭圆的两个焦点将长轴三等分,焦点到相应准线的距离为8,则此椭圆的长轴长为______.
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设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,P是其右准线上纵坐标为


3
c(c为半焦距)的点,且F1F2=F2P,则椭圆的离心率是______.
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