已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;(Ⅱ)当∠A
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已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l. (Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积; (Ⅱ)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程. |
答案
(Ⅰ)因为AB∥l,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x. 设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由得x=±1. 所以|AB|=|x1-x2|=2. 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离. 所以h=,S△ABC=|AB|•h=2.
(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m, 由得4x2+6mx+3m2-4=0. 因为A,B在椭圆上, 所以△=-12m2+64>0. 设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则x1+x2=-,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2|=. 又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=. 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11. 所以当m=-1时,AC边最长,(这时△=-12+64>0) 此时AB所在直线的方程为y=x-1. |
举一反三