椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点).(Ⅰ)求证:1a2+1b2等于定值;(Ⅱ)当椭圆的离

椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点).(Ⅰ)求证:1a2+1b2等于定值;(Ⅱ)当椭圆的离

题型:不详难度:来源:
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,且


OP


OQ
(O为坐标原点).
(Ⅰ)求证:
1
a2
+
1
b2
等于定值;
(Ⅱ)当椭圆的离心率e∈[


3
3


2
2
]
时,求椭圆长轴长的取值范围.
答案
(1)证明:





b2x2+a2y2=a2b2
x+y-1=0

消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0
△=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0,a2+b2>1
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
x1+x2=
2a2
a2+b2
x1x2=
a2(1-b2)
a2+b2



OP


OQ
=0
,x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(1-x1)(1-x2)=0
化简得2x1x2-(x1+x2)+1=0,
2a2(1-b2)
a2+b2
-
2a2
a2+b2
+1=0

即a2+b2=2a2b2,故
1
a2
+
1
b2
=2

(Ⅱ)由e=
c
a
b2=a2-c2a2+b2=2a2b2

化简得a2=
2-e2
2(1-e2)
=
1
2
+
1
2(1-e2)

e∈[


3
3


2
2
]
a2∈[
5
4
3
2
]

a∈[


5
2


6
2
]

故椭圆的长轴长的取值范围是[


5


6
]
举一反三
已知点A(0,b),B为椭圆(a>b>0)的左准线与x轴的交点,若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为(  )
题型:不详难度:| 查看答案
A.B.C.D.
已知函数f(x)=xln(ax)+ex-1在点(1,0)处切线经过椭圆4x2+my2=4m的右焦点,则椭圆两准线间的距离为(  )
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
A.6B.8C.10D.18
如图F1、F2是椭圆C1+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(  )
题型:浙江难度:| 查看答案
题型:临沂二模难度:| 查看答案
A.B.C.D.
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别是F1、F2,线段F1F2被点(
b
2
,0)
分成3:1的两段,则此椭圆的离心率为______.
已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点,P到面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(  )
题型:重庆二模难度:| 查看答案
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