解:由相似三角形知,,
,
∴。
(1),
∴,在
上单调递减,
∴时,
最小
,
时,
最小
,
∴,∴
。
(2)当时,
,∴
,∴
,
∵,
∴是圆的直径,圆心是
的中点,
∴在y轴上截得的弦长就是直径,∴=6,
又,
∴,
∴,圆心Q(0,1),半径为3,
。
(3)椭圆方程是,右准线方程为
,
∵直线AM,AN是圆Q的两条切线,
∴切点M,N在以AQ为直径的圆上。
设A点坐标为,
∴该圆方程为,
∴直线MN是两圆的公共弦,两圆方程相减,得,
这就是直线MN的方程,
该直线化为:,
∴,∴直线MN必过定点
。
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