已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F(3,0),一条渐近线m:x+2y=0,设过点A(-32,0)的直线l的方向向量e=(1,k),(1)求双曲线C的方程;(2
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已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F(3,0),一条渐近线m:x+2y=0,设过点A(-32,0)的直线l的方向向量e=(1,k),(1)求双曲线C的方程;(2
题型:上海
难度:
来源:
已知双曲线C的中心是原点,右焦点为
F(
3
,0)
,一条渐近线m:x+
2
y=0,设过点A(-3
2
,0)的直线l的方向向量e=(1,k),
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a
∥
l,且a与l的距离为
6
,求k的值;
(3)证明:当k>
2
2
时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
6
.
答案
(1)由题意知,c=
3
,
b
a
=
2
2
,再由c
2
=a
2
+b
2
,a=
2
,b=1,∴双曲线方程为:
x
2
2
-y
2
=1.
(2)直线l的方程y-0=k(x+3
2
),即 kx-y+3
2
k=0.∵过原点的直线a
∥
l,∴直线a方程为:kx-y=0,
两平行线间的距离
|3
2k
|
1+
k
2
=
6
,∴k=±
2
2
.
(3)证明:设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0,
则直线l与b的距离d=
3
2
|k|
1+
k
2
,当k>
2
2
时,d>
6
. 又双曲线C的渐近线为x±
2
y=0,
∴双曲线C的右支在直线b的右下方,∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于
6
,
故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
6
.
举一反三
已知双曲线C的中心在坐标原点,渐近线方程是3x±2y=0,左焦点的坐标为
(-
13
,0)
,A、B为双曲线C上的两个动点,满足
OA
•
OB
=0.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)求
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
的值;
(Ⅲ)动点P在线段AB上,满足
OP
•
AB
=0,求证:点P在定圆上.
题型:安徽模拟
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)与抛物线y
2
=8x有 一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线方程为______.
题型:包头一模
难度:
|
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2
),且渐近线方程是y=±
1
3
x,则这条双曲线的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是______.
题型:上海
难度:
|
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题型:不详
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|
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