(Ⅰ)由题意c=,=,则由c2=a2+b2得a=2,b=3 所以双曲线C的方程为-=1…(2分) (Ⅱ)解法一:①当过A、B两点的直线斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,则 由得(9-4k2)x2-8kmx-4m2-36=0(k≠±)…(4分) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=- ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=…(5分) 又•=0,则x1x2+y1y2=0, 即-+=0, ∴5m2=36(k2+1) 满足△=64k2m2+16(m2+9)(9-4k2)=64m2+117>0…(6分) 设原点O到直线AB的距离为d, 则d=,又由||2×||2=d2×||2 ∴+= =(1+k2)(x1-x2)2 | (x12+y12)(x22+y22) |
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] | (-9)(-9) | =, ∴+=为定值…(8分) ②当过A,B两点的直线斜率不存在时,设直线AB的方程为x=m,则可验证+=为定值…(10分) 解法二:设A(rcosθ,rsinθ)、B(kcosα,ksinα),则r=||,k=||…(4分) 点A在双曲线上,则r2(-)=1⇒=-…(6分) 由•=0得cos2α=sin2θ,cos2θ=sin2α 同理,=-=-…(8分) 所以+=+=-=为定值…(10分) (Ⅲ)由三角形面积公式,得||×||=||×|| 所以||2×||2=||2×||2⇒||2×(||2+||2)=||2×||2 即||2×(+)=1⇒||2= 所以点P在以原点为圆心,半径的圆上…(13分) |