已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x=1,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(PC+2PQ)•(PC-2PQ)=0.(1)问:点P在什么曲线上

已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x=1,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(PC+2PQ)•(PC-2PQ)=0.(1)问:点P在什么曲线上

题型:不详难度:来源:
已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x=1,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(


PC
+2


PQ
)•(


PC
-2


PQ
)=0

(1)问:点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)设P的坐标为(x,y),由(


PC
+2


PQ
)•(


PC
-2


PQ
)=0

|


PC
|2-4|


PQ
|2=0

∴(x-4)2+y2-4(x-1)2=0,…(3分)
化简得
x2
4
-
y2
12
=1

∴P点在双曲线上,其方程为
x2
4
-
y2
12
=1
.…(4分)
(2)设A,B点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),





y=kx+1
x2
4
-
y2
12
=1
得:(3-k2)x2-2kx-13=0,…(6分)
x1+x2=
2k
3-k2
x1x2=-
13
3-k2

∵AB与双曲线交于两点,
∴△>0,即4k2-4(3-k2)(-13)>0,
解得-


13
2
<k<


13
2
.…(8分)
∵若以AB为直径的圆过D(0,-2),则AD⊥BD,
∴kAD•kBD=-1,…(10分)
y1+2
x1
y2+2
x2
=-1

∴(y1+2)(y2+2)+x1x2=0⇒(kx1+3)(kx2+3)+x1x2=0
(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0⇒(k2+1)(-
13
3-k2
)+3k•
2k
3-k2
+9=0

解得k2=
7
8
,∴k=±


14
4
∈(-


13
2


13
2
)
,故存在k值为±


14
4
.…(13分)
举一反三
已知双曲线的一个焦点F1(0,5),且过点(0,4),则该双曲线的标准方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
在双曲线(a,b>0)中,=,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线方程是(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.

A.B.C.D.
若双曲线以椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
的长轴的两个端点为焦点,且经过点(4


2
,3),求双曲线的标准方程,并求出它的离心率和渐近线方程.
P是以F1、F2为焦点的双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上的一点,已知


PF1


PF2
=0,|


PF1
|=2|


PF2
|

(1)试求双曲线的离心率e;
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点,当


OP1


OP2
=-
27
4
2


PP1
+


PP2
=0,求双曲线的方程.
双曲线C的中心在原点,右焦点为F(
2


3
3
, 0)
,渐近线方程为y=±


3
x

(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点.