已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为23.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;(

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为23.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;(

题型:不详难度:来源:
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2


3

(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+


2
与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围.
答案
(1)设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0).
由已知得:a=


3
,c=2,再由a2+b2=c2,∴b2=1,
∴双曲线方程为
x2
3
-y2=1.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),
将y=kx+


2
代入
x2
3
-y2=1,
得(1-3k2)x2-6


2
kx-9=0.
由题意知





 △=36(1-k2)>0
xA+xB=
6


2
k
1-3k2
<0
xAxb=
-9
1-3k2
>0
解得


3
3
<k<1.
∴当


3
3
<k<1时,l与双曲线左支有两个交点.
(3)由(2)得:xA+xB=
6


2
k
1-3k2

∴yA+yB=(kxA+


2
)+(kxB+


2

=k(xA+xB)+2


2
=
2


2
1-3k2

∴AB的中点P的坐标为(
3


2k
1-3k2


2
1-3k2
).
设直线l0的方程为:y=-
1
k
x+b,
将P点坐标代入直线l0的方程,得b=
4


2
1-3k2



3
3
<k<1,∴-2<1-3k2<0,
∴b<-2


2

∴b的取值范围为(-∞,-2


2
).
举一反三
(其中m,n∈{-1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为(  )
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A.B.C.D.
已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过点(2,


2
)与(


2
,0),则双曲线的焦点坐标为______.
已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=k,则双曲线方程为(  )
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A.B.
C.D.
已知双曲线的焦点分别为F1(-5,0)、F2(5,0),若双曲线存在上一点P满足|PF1|-|PF2|=8,则此双曲线的标准方程为(  )
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A.B.
C.D.
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)上一点P到两焦点F1、F2的距离分别是6和2,点M(
3
2
,0)到直线PF1和PF2的距离相等,则此双曲线的方程为 ______.