一动点P到两定点F1(-2,-2)、F2(2,2)的距离之差的绝对值等于22,求点P的轨迹方程.
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一动点P到两定点F1(-2,-2)、F2(2,2)的距离之差的绝对值等于22,求点P的轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
一动点P到两定点F
1
(-
2
,-
2
)、F
2
(
2
,
2
)的距离之差的绝对值等于2
2
,求点P的轨迹方程.
答案
到两定点F
1
、F
2
的距离之差的绝对值等于2
2
的点P的轨迹,是以F
1
、F
2
为焦点的双曲线
焦距为|F
1
F
2
|=2c=4,2a=2
2
,所以双曲线的离心率e=
2
,得双曲线的a=b,两条渐近线互相垂直
∵F
1
(-
2
,-
2
)、F
2
(
2
,
2
)在直线y=x上,
∴点P的轨迹是以x、y轴为渐近线的双曲线,可设双曲线的方程为y=
k
x
,(k>0),
则|PF
1
|-|PF
2
|=
(x+
2
)
2
+(
k
x
+
2
)
2
-
(x-
2
)
2
+
(
k
x
-
2
)
2
=2
2
移项,两边平方得:
(x+
2
)
2
+(
k
x
+
2
)
2
=
(x-
2
)
2
+
(
k
x
-
2
)
2
+4
2
(x-
2
)
2
+
(
k
x
-
2
)
2
+8
化简整理得:x+
k
x
-
2
=
(x-
2
)
2
+
(
k
x
-
2
)
2
,
两边平方,比较系数可得k=1,所以点P的轨迹方程是y=
1
x
.
举一反三
(理)设双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为
b
2
e
2
a
求双曲线c的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的中心在原点,焦点F
1
,F
2
在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点
(4,-
10
)
.
(1)求双曲线方程;
(2)设A点坐标为(0,2),求双曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
题型:不详
难度:
|
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(文)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,一条渐近线方程为3x+4y=0,若双曲线经过点P(-4,-6),求此双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知中心的坐标原点,以坐标轴为对称轴的双曲线C过点
Q(2,
3
3
)
,且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F
1
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)命题:“过椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则
|AB|
|FM|
为定值,且定值是
10
3
”.命题中涉及了这么几个要素:给定的圆锥曲线E,过该圆锥曲线焦点F的弦AB,AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M,AB的长度与F、M两点间距离的比值.试类比上述命题,写出一个关于抛物线C的类似的正确命题,并加以证明
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一的一般性命题(不必证明).
题型:福建模拟
难度:
|
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若双曲线的焦点为(0,4)和(0,-4),虚轴长为4
,则双曲线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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