已知直线l：5x-7y=1 与标准型双曲线C 交于A ，B 两点，点 P(5 ，14) 与A ，B 构成以AB 为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程.

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答案

解：由题意得A ，B 两点在以P 为圆心，|PA| 为半径的圆上，
P 到l 的距离

从而半径

圆的方程为（x-5）²+（y-14）²=148.
由

得

或

所以A(3，2)，B(17，12)．
设双曲线的方程为mx²-ny²=1（m，n同号），
把A，B两点的坐标分别代入得

解得

所以双曲线的方程为x²-2y²=1．

举一反三

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁（-3，0），一条渐近线的方程是

(1)求双曲线C的方程；
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

，求k的取值范围．

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已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，过点P(3 ，-1) ，一条渐近线与直线3x-y=2 平行，求双曲线标准方程．

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已知双曲线的渐近线方程为

，且经过点A（2，-3），求此双曲线的标准方程．

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以椭圆

的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线方程是 [ ]

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经过点

，渐近线方程为

的双曲线方程为__ __

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