附加题：设不等式组表示的平面区域为D，区域D内的动点P到直线x+y=0和直线x-y=0的距离之积为2。 　　（1）记点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为____

题型：北京期中题难度：来源：

附加题：
设不等式组表示的平面区域为D，区域D内的动点P到直线x+y=0和直线x-y=0的距离之积为2。 　　
（1）记点P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为_______； 　　
（2）在（1）的前提下，若过点，斜率是k的直线l与曲线C交于A、B两点，记|AB|=f（x），则线段AB的长f（x）=_______； 　　
（3）在（2）的前提下，若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则直线l的斜率k的值为_______。

答案

解：（1）由题意可知，平面区域D如图阴影所示，　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设动点为P（x，y），则，即，
由P∈D知x+y>0，x-y＜0，即x²-y²＜0，
所以y²-x²=4（y＞0），　　
即曲线C的方程为=1（y＞0）；
（2）设，　　
则以线段AB为直径的圆的圆心为，
因为直线AB过点F（2，0），　　
所以设直线AB的方程为y=k（x-2），
代入双曲线方程=1（y＞0）得，k²（x-2）²-x²=4，　　
即（k²-1）x²-4k²x+（8k²-4）=0，
因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1，
所以　　
所以|AB|= 　　
=
=f（k）；
（3），　　
所以|AB|=|x₁+x₂|=||，　　
化简得：k⁴+2k²-1=0，　　
解得k²=-1（k²=--1不合题意，舍去），
由，　　
又由于y＞0，所以-1＜k＜，
所以k=-。